（补充，原贴中间有论述错误，需要感谢 @

   对我论述中的一个错误指出。我没有仔细判断 1111 1111 10 之前的收敛和发散特性，199981（10进制，是满足 f(n) = n的，且比 1111 1111 10 小）

昨天看了 这个帖子三遍。首先需要指出，帖子转载的原作者，也没有把题目对应的做出来，当然他的分析是正确的。题目实质是问10进制下，假设给定一个自然数n，用10进制描述所有0到n，包括n的自然数时，出现1的总数为f(n)，求，f(n) = n的最大情况。

我比较郁闷的是3点，

1、我自己英语不好。扫一边题目，以为看懂了，但是实际没看懂真正问什么。

2、google神经病，明明是个数论的题目，拐这么个大弯做什么。

3、如果我象google这样小肚鸡肠，以后我面人，假如有机会面老外，也学google一样搞点文言文，折腾点春秋战国时代的故事，把实际数学的问题藏后面，首先得让他们知道，之乎者也的含义。奶奶的，形式主义害死人。

因此，我特地反送给一个面google的试题。并给出答案。

首先，我需要说明，虽然平时也看看数论导论，图论的书，但都是业务爱好。所以数论我研究的并不广泛和深入，因此下面这个证明，我相信，数论方面的专家应该早就证明过了。不是我什么独创。希望这里的数论专家给予指导，也可以笑笑，只是别认为我是在挑战数论猜想。

回到正题，请google的弱智专家证明以下题目

1、定义，任意自然数k，在具体n进制下，可用0..n-1的数进行进制方式描述。则对[0,k]区间内，所有自然数，采用n进制描述中，每个位出现1的总数量，我定义为n进制1符号k区间频率值，简称k区间“1”频率值

2、求证：对于任意N进制(N>1)，n区间“1”频率值等于n且n!=1的数是唯一的，且该数值用n进制描述始终为 1...1 0。即0前面存在（n-1)个1。

这个证明，如果具体定义到n为10的时候。自然就可以得出，在10进制下，f(1111 1111 10 )= 1111 1111 10 。且该数值，是满足f(n) = n的最大值。

对应的有，2进制下，f(n) = n，最大值为 0b10。换成10进制为2

对应3进制下，f(n) = n 最大值为 110，换成10进制为 12。

5进制下，f(n)  =n)最大值，为 1111 0，换成10进制为5^4+5^3+5^2+5^1 = 780

以上证明我已经证出来了，就是写数学的规范证明，存在大量公式符号，如累加。懒得写文字了。基本思路如下：

1、证明 11...1 0的f(n) = 111.. 10。方法是，对任意位，求出其他位出现1的总数。例如上面帖子中的跟贴，最后再累加。其实这样可以得出如下计算步骤。

假设进制7 。[0，111 111 0] 区间内，第m位为1 时，其他位任意的情况有  111 111个。而第0位为0 时，其他位出现1的总数为111 111，因此如下：

第0位 111 111 个 

。。。

第6位 111 111 个

总计等于 7(10进制） * 111 111（7进制），等于111 111左移一位，也即111 111 0正好和n相同。

第二步，是证明，f(n)是个发散函数。而且会在某个区间的分辨率下，是增函数。而在该区间内，在一个大数N以上，始终会存在 f(n) > n的情况，由此证明上面 111 .. 11 0的值是唯一且是最大的。